---

کاربرد هندسه در روانشناسی و غیره:

آزموني ساده: ساده ترين اشكال هندسي را به ياد بياوريد: مربع، مستطيل، مثلث، دايره، منحني پس خيلي سريع و بدون اينكه زياد به مغزتان فشار بياوريد، شكلي را انتخاب كنيد كه بيشتر از همه مي پسنديد.
 آزموني روانشناسي پيش روي شماست، كه با توجه انتخابتان به سرعت نشان مي دهد كه شما در زندگي چه جور آدمي هستيد و احتمال موفقيتتان در چه مشاغلي بيشتر است.

مربع: كساني اند كه در محيط پايدار بيشترين احساس آرامش را دارند و مسير كارهايشان به طور كامل آشكار است. چنين اشخاصي محافظه كارند و دوست دارند كه همه چيز مرتب و منظم باشد. وظيفه شناس اند و اگر كاري را به آنها محول كنيد، آنقدر روي آن وقت مي گذارند تا تمام شود حتي اگر كاري تكراري و طاقت فرسا باشد و مجبور شوند كه بتنهايي آن را انجام دهند.

مستطيل: پايبند بودن از اصول مشخصه آنهاست، نظم و ترتيب را دوست دارند ولي آن را با سازماندهي دقيق اجرا مي كنند اين امر سبب مي شود تا راههاي مناسبي را انتخاب و همه قواعد و مقررات را بررسي كنند. اگر وظيفه اي را به اين اشخاص محول كنيد ابتدا آن را به خوبي سازماندهي مي كنند تا اطمينان يابند كه به طور اصولي اجرا خواهد شد.

آنهايي كه مثلث را انتخاب مي كنند: اشخاصي هدف گرايند و از برنامه ريزي قبل از انجام دادن كارها لذت مي برند و به طرح موضوع و برنامه هاي بزرگ و بلند مدت تمايل دارند اما ممكن است كه مسائل جزئي را فراموش كنند اگر كاري را بر عهده آنان بگذاريد، ابتدا هدفي را براي آن تعيين و سپس با برنامه ريزي كار را آغاز مي كنند.

آنهايي كه دايره را انتخاب مي كنند: اجتماعي و خوش صحبت اند و هيچ لحن خشني ندارند و امور را با صحبت كردن درباره آن تنظيم مي كنند و نخستين اولويتشان در زندگي ارتباطات است. مطمئن باشيد كه اگر وظيفه اي را به آنها محول كنيد آنقدر درباره آن صحبت مي كنند تا هماهنگي لازم براي به انجام رسيدن آن كار ايجاد شود.

منحني: خلاقيت در آنها موج مي زند و اغلب كارهاي جديد و متفاوتي انجام مي دهند. نظم و ترتيب برايشان كسالت آور است. اگر تكليفي را براي آنها در نظر بگيريد طرهحاي خوب و مطمئني براي آنها ابداع مي كنند.

نتيجه گيري: به طور كلي افرادي كه سه شكل اول يعني مربع، مستطيل، مثلث را انتخاب مي كنند در مسير ويژه اي حركت مي كنند و كارها را به طور منطقي و اصولي انجام مي دهند ولي ممكن است خلاقيت كمي داشته باشند گزينش دايره و منحني نشان دهنده خلاقيت و برونگرايي است چنين افرادي به موقعيتهاي جديد دسترسي پيدا مي كنند ولي چندان اصولگرا و اعتماد كردني نيستند.

كاربرد: اين آزمون براي ارزيابي افراد نسبت به موقعيت شغليشان كاربرد دارد اگر شما به شدت علاقه منديد كه كاري خاص و اصولي انجام دهيد، فردي مربع دوست مي تواند همكار خوبي برايتان باشد همچنين اينگونه افراد براي كارهاي حسابرسي هم مناسب اند. اگر كارها به سازماندهي گروهي نياز داشته باشد مثلث دوستان، در پيشبرد آنها موفق خواهند بود. اين افراد مي توانند مجري خوبي هم باشند چون اهداف را مشخص مي كنند و اطمينان مي يابند كه دستيابي به آنها ممكن است. براي هر نوع ارتباطات حضوري، افرادي كه دايره را انتخاب مي كنند بهترين اند. آنان مي توانند كارمند خوب يا مسئول پذيرش و يا فردي باشند كه به مشتريان خود خدمات مناسبي عرضه مي كنند. در آخر افرادي كه به منحني علاقه دارند هميشه طرحهاي تازه دارند و براي كار در شركتهاي تبليغاتي مناسبند.
کاربرد توابع و روابط بین اعداد 

  کاربرد روابط بین اعداد و توابع و نتیجه گیریهای منطقی در نوشتن الگوریتمها و برنامه نویسی کامپیوتری است . 

مفهوم تابع یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است و در اصل تابع نوعی خاص از رابطه های بین دو مجموعه است . و با توجه به این که دنباله ها هم حالت خاصی از تابع است – تابعی که دامنه آن مجموعه ی اعداد { . . . و ۲ و ۱ و ۰ } است – دنباله های عددی در ریاضی و کامپیوتر کاربرد فراوان دارند . برای ساخت یک برنامه اساساٌ چهار مرحله را طی می کنیم : 

۱) تعریف مسئله 

۲) طراحی حل 

۳) نوشتن برنامه 

۴) اجرای برنامه 

لازم به ذکر است که گردآیه هایی که در مرحله دوم حاصل می شود را اصطلاحاٌ الگوریتم می نامیم .که این الگوریتمهابه زبان شبه کد نوشته می شود ،که شبیه زبان برنامه نویسی است وتبدیل آنها به زبان برنامه نویسی را برای ما بسیار ساده می کند . 

 « هیچ دانسته ی بشر را نمی توان علم نامید، مگر اینکه از طریق ریاضیّات توضیح داده شده و ثابت شود . » ( لئو ناردو داوینچی ) 

● کاربرد معادله و دستگاه معادلات خطی 

دستگاه های معادلات خطی اغلب برای حساب کردن بهره ی ساده ،پیشگویی ، اقتصاد و پیدا کردن نقطه ی سر به سر به کارمیرود. 

معمولاً هدف از حل کردن یک دستگاه معادلات خطی ، پیدا کردن محل تقاطع دو خط می باشد.در مسائل دخل و خرج که درمشاغل مختلف وجود دارد ، پیداکردن نقطه تقاطع معادلات خط یعنی همان پیدا کردن نقطه ی سر به سر.* در اقتصاد هم نقطه تقاطع معادلات خطی ، عبارتست از : قیمت بازار یا نقطه ای که در آن عرضه و تقاضا با هم برابر باشند. 

● کاربرد تقارنها (محوری و مرکزی ) و دَوَرانها 

مباحث تقارنها ودورانها که به تبدیلات هندسی معروف هستند،درصنعت و ساختن وسائل و لوازم زندگی استفاده می شوند . مثلاً در بافتن قالی و برای دادن نقش و نگار به آن از تقارن استفاده می شود . در کوزه گری و سفالگری از دوران محوری استفاده می - شود . همچنین در معماریهای اسلامی اغلب از تقارنها کمک گرفته می شود . چرخ گوشت ، آب میوه گیری ، پنکه ، ماشین تراش ُ بادورانی که انجام می دهند ، تبدیل انرژی می کنند . علاوه بر آن تبدیلات هندسی برای آموزش مطالبی از ریاضی استفاده می شوند ،مانند : مفهوم جمع و تفریق اعداد صحیح با استفاده از بردار انتقال موازی محور. 

▪ نقطه ی سر به سر : در بسیاری از مشاغل ، هزینه ی تولید Cو تعداد X کالای تولید شده را می توان به صورت خطی بیان کرد.به همین ترتیب ، در آمد R حاصل از فروش X قلم کالای تولیدشده را نیز می توان با یک معادله ی خطی نشان داد . وقتی هزینه ی C از در آمد R حاصل از فروش بیشتر باشد،این تولیدضررمی دهد. و وقتی در آمد R از هزینه ی C بیشتر باشد ،تولید سودمیدهد . و هر گاه در آمد R و هزینه ی C مساوی باشند ،سود و زیانی در بین نیست و نقطه ای که در آن R=C باشد، نقطه ی سربه سر نامیده می شود . 

● کاربرد مساحت 

مفهوم مساحت و تکنیک محاسبه مساحت اشکال مختلف ، از اهمّ مطالب هندسه است .به سبب کاربرد فراوانی که در زندگی روزمرّه مثلاً برای محاسبه ی مساحت زمینها با اَشکال مختلف . و همچنین درفیزیک و جغرافیاوسایر دروس دانستن مساحتهالازم به نظرمی رسد . 

● کاربرد چهار ضلعیها 

شناخت چهارضلعیها و و دانستن خواص آنها ، برای یادگیری مفاهیم دیگر هندسه لازم است و ضمناً در صنعت و ساخت ابزار و وسائل زندگی و همچنین برای ادامه تحصیل وهمینطور در بازار کار نیاز به دانستن خواص چهارضلعیها احساس می شود . 

● کاربرد خطوط موازی و تشابهات 

از خطوط موازی و مخصوصاً متساوی الفاصله ، در نقشه کشی و ترسیمات استفاده می شود .و در اثبات احکامی نظیر قضیه تالس۱ و عکس آن ، همچنین تقسیم پاره خط به قطعات متساوی یامتناسب . 

تشابهات نیز از مفاهیم مهم هندسه و اساس نقشه برداری ،کوچک و بزرگ کردن نقشه ها و تصاویر و عکسها می باشد . 

مبحث تشابهات درهندسه دریچه ای است به توانائیهای جدیدبرای درک و فهم و کشف مطالب تازه ی هندسه ،به همین سبب آموزش خطوطمتوازی و متساوی الفاصله و مثلثهای متشابه به حد نیاز دانش- 

آموز مقطع راهنمایی لازم است . 

۱) تالس دانشمند یونانی نشان داد که به وسیله ی سایه ی یک شیء و مقایسه ی آن با سایه ی یک خط کش می توان ارتفاع آن شیء را اندازه گرفت . با استفاده از اصولی که تالس ثابت کرد ،می توان بلندی هر چیزی را حساب کرد . تنها چیزی که نیاز دارید ، یک وسیله ی ساده اندازه گیری است که می توانید[آن را ] از یک قطعه مقواو تکه ای چوب درست کنید.( مراجعه شودبه کتاب درجهان ریاضیات نوشته ی اریک او بلاکر – صفحه ی ۳۰ ) 

تالس در زمان خود به کمک قضیه ی خودارتفاع اهرام مصررامحاسبه کرد همچنین وقتی از مصر به یونان بازگشت ، فاصله ی یک کشتی را از ساحل به کمک قضیه خود اندازه گرفت .روش دیگری هم برای 

محاسبه بلندی وجود دارد وآن استفاده از نسبتهای مثلثاتی است. 

 ● کاربرد آمار و میانگین 

وقتی کسی از مقادیر عددی کمک می گیرد ، تا یک موقعیّت را توضیح دهد ، او وارد قلمرو آمار شده است . آمار معمولاً اثر تعیین کننده ای دارد . اگر چه ممکن است مفید یا گمراه کننده باشد . ما عادت کرده ایم، که پدیده های زیادی نظیرموارد زیر را با توجه به آمار ، پیش بینی کنیم : 

احتمال پیروزی یک کاندیدای ریاست جمهوری،وضعیت اقتصادی(تورم،در آمد ناخالص ملی ، تعداد بیکاران ،کم وزیادشدن نرخ بهره هاونرخ سهام ، بازار بورس ، میزان بیمه ، آمار طوفان،جذر و مد) و غیره . 

قلمرو آمار به طور مرتب درحال بزرگ شدن است.آمار می توانددر موارد زیادی ، برای قانع کردن مردم و یا انصراف آنهااز یک تصمیم موءثّر باشد . به عنوان مثال : اگر افراداحساس کنند که رأی آنها نتیجه ی انتخابات را تغییر نخواهد داد ، ممکن است ازشرکت در انتخابات صرفنظر کنند . 

در عصر ما آمار ابزار قوی و قانع کننده است،مردم به اعدادمنتشر شده ی حاصل از آمار گیری ،اعتماد زیادی نشان می دهند. 

به نظر می رسد وقتی یک وضعیت وموقعیت باتوسل به مقادیر عددی توصیف می شود ، اعتبار گزارش در نظر مستمعین بالا می رود . 

● مقاطع مخروطی 

در هوای گرم بستنی بسیار خوشمزه ودلچسب است .بخصوص اگر بستنی قیفی داشته باشید ودر حالی که روی یک صندلی و در سایه درختی نشسته باشید و فارغ از جار و جنجال روزگار ، به خوردن بستنی مشغول باشید. شاید همه چیز از ذهن شما بگذردمگرهمان بستنی قیفی که مشغول خوردن آن هستید . 

این مطلب توجه یک ریاضیدان بلژیکی خوش ذوق رابه خودجلب کرد و آن رابرای توضیح یکی ازمطالب مهم ریاضی[یعنی مقاطع مخروطی]بکار برد . واقعاً جالب است مگه نه ؟ 

مقاطع مخروطی یکی از مباحث مهم و کاربردی در ریاضیات بوده وهست . 

● ترسیمات هندسی 

در ترسیمات و آموزش قسمتهای دیگر هندسه، نیاز فراوان به شناخت دایره و اجزاو خواص آن پیدا می شود ، لذا در دوره ی راهنمایی ، مفهوم دایره ،وضع نقطه و خط نسبت به دایره،زاویه مرکزی ، زاویه محاطی و تقسیم دایره به کمانهای متساوی آموزش داده می شود و به این ترتیب دانش آموز برای یادگیری مطالب بعدی و استفاده ی عملی از آنها آماده می شود . (همچنین من فکرمیکنم از زاویه ی محاطی و اندازه ی آن برای نورپردازی در سالنهااستفاده می شود . ) 

● کاربرد ریاضیات در هنر و کامپیوتر 

تاریخ نشان می دهد که در طی قرون ، هنرمندان وآثارشان تحت تأثیرریاضیات قرار گرفته اند ،و زیبائی اثرشان به آگاهی آنها از این دانش بستگی داشته است .ماهم اکنون استفاده ی آگاهانه از مستطیل طلایی ، و نسبت طلایی را در هنر یونان باستان ، به ویژه درآثارپیکرتراش یونانی« فیدیاس »دقیقآ مشاهده می کنیم. 

مفاهیم ریاضی از قبیل نسبتها ، تشابه، پرسپکتیو، خطای باصره تقارن ، اشکال هندسی ، حدود و بینهایت در آثار هنری موجوداز قدیم تا به امروز مکمل زیبایی آنها بوده است . و اکنون نیز « کامپیوتر » به کمک ریاضیات هنر را ازابتدایی تامدرن توسعه می دهد. 

اگر آگاهی هنرمندان باریاضیات واستفاده ی عملی از ان نبود،برخی از آثار هنری خلق نمی شدند . بهترین نمونه ی آن تصاویر موزائیکی هنرمندن مسلمان وگسترش این شکلهای هندسی به وسیله ی 

« M.S.Esher » جهت نشان دادن اجسام متحرک است .اگر هنرمندان به مطالعات توجهی نداشتندوخصوصیات اشکال را از نظر تطابق،تقارن انعکاس ،دوران ، انتقال و . . . کشف نکرده بودند ، خلق این همه آثار هنری امکان پذیر نبود . 

« هنر ریاضیات ،هنرپرسیدنِِِ پرسشهای درست است وقطعه ی اصلی کار در ریاضیات تخیل است و آن چه که این قطعه ی اصلی رابه حرکت درمی آوردمنطق می باشدوامکان استدلال 

منطقی آن زمان پدید می آیدکه ما پرسشهای خود رادرست مطرح کرده باشیم.» (نوربرت ونیز ) 

● کاربرد حجم 

به سبب نیازی که دانش آموز در زندگی روز مرّه و همین طور در بکار گیری آن در سایر علوم نظیر ، شیمی ، فیزیک ،زیست شناسی و مخصوصاً هنر برایش پیش می آید،همچنین در شغلهایی که در جامعه وجود دارد و یا در ادامه تحصیل دانستن دستورهای محاسبه ی حجماجسام ، یادگیری مبحث حجم ضروری به نظر می رسد . 

● کاربرد رابطه ی فیثاغورس 

فیثاغورث در باره ی رابطه های عددی که درساختمانهای هندسی وجود دارد تحقیق می کرد . او مثلث معروف به مثلث مصری را ، که ضلعهای آن با عددهای ۳و۴و ۵ بیان می شود ، را می شناخت . 

مصریها می دانستند که چنین مثلثی قائم الزاویه است .و ازآن برای تعیین زاویه های قائمه در تجدید تقسیم بندی زمینهای اطراف نیل ،که هر سال بر اثر طغیان آب شسته می شد ، استفاده می کردند. 

یکی از مشکلترین مسائل در ساختن اهرام و معبدها ،طرح شالوده بنا به شکل مربع کامل بود که هم تراز باسطح افق باشد . جزئی اشتباه به قیمت از شکل افتادن همه ی بنا تمام می شد . 

مصریان این مشکل رابا ساختن شاقول از میان برداشتند. نخستین شاقول احتمالاً تکه ریسمان یا نخی بود که وزنه ای به آن آویخته بودند و ان را در برابر بنا می گرفتند تا وزنه ی آن به زمین صاف برسد . در این حالت نخ می بایست کاملاً عمودیا شاقول باشد و زاویه ی بین آن و زمین صاف یک زاویه ی قائمه بسازد. 

همچنین معماران کشف کردندکه چگونه می توان با ریسمان های اندازه گیری که درفاصله های مساوی گره خورده بودند، مثلثهای قائم الزاویه ای بسازند و این مثلثها را راهنمای خویش در ساختن گوشه ها ( نبش ها )ی بنا قرار دهند . 

● جمع بندی و نتیجه گیری 

بدون شک مهمترین هدف ما از بیان مطالب بالا این است که بتوانیم دانش آموزان را با اهداف کتب ریاضی آشنا کنیم و آنها را نسبت به ریاضیات علاقمند کنیم . تجربه نشان داده است که حتی در رشته های فنی ، مانند خیاطی هم اهداف پرورشی ریاضی اهمیت دارند به همین خاطر دربرنامه ی درسی تمام رشته های تحصیلی درس ریاضی گنجانده شده است . 

در کتب جدید ریاضی سعی شده است که مطالب طوری بیان شوند که دانش آموز نفهمیده مطلبی را نپذیرد.هر چند بعضی مطالب شهودی است.ولی دانش آموز از طریق درک مفاهیم درس یاد می گیرد و به 

تدریج با فرایندتفکر ریاضی آشنا می شود .معلمین هم باید به این نکته توجه داشته باشند و تصور نکنند که هدف آموزش ریاضی فقط در یاد دادن چند قاعده و حل ماشینی مسائل خلاصه می شود




ادامه مطلب

درباره : مطالب علمی از دنیای علم وهنر , هندسه , مطالب علمی ,

هندسه ساختار های خود متشابه

فراکتال ها مفاهیم ریاضی هندسی هستند که در چند سال اخیر و به خصوص پس از کار های بندیت مندلبورت، ریاضیدان لهستانی بر روی آنها بسیار مورد توجه دانشمندان سایر علوم قرار گرفته است.
 مفاهیمی که خواص آنها به اندازه شان بستگی ندارد، در فیزیک، شیمی، زیست شناسی، زمین شناسی و پزشکی بسیار دیده شده اند و از خواص آنها می توان برای درک بهتر پدیده های مورد نظر استفاده کرد.
 تاکنون تعریف دقیقی از ماهیت فراکتال ها نشده است اما از یک دیدگاه کلی می توان گفت که فراکتال موجودی هندسی است که قوانین کلی حاکم بر آن وابسته به مقیاسی که در آن کار می کنیم نیست.
 یعنی جزئیات آن شبیه کل هستند. فراکتال ها جزئیات نامحدودی دارند که دارای ساختاری خود متشابه در مقادیر مختلف بزرگنمایی، هستند. 
در اکثر موارد یک قانون و قاعده خاصی به میزان نامحدودی تکرار می شود تا یک طرح فراکتالی پدید آید. واژه فراکتال در سال 1975 توسط « بندیت مندلبورت» پدر فراکتال، ابداع شد. ریشه این لغت، عبارت لاتین Fractus به معنی «شکسته» است. 
پیش از این که مندلبورت این واژه را ابداع کند، برای چنین اشکالی، از واژه «منحنی های هیولایی» استفاده می شد. فراکتال ها را عموما موجوداتی ریاضی می پندارند و این به علت مشهور بودن ساختار «فراکتال هندسی» است اما نشان داده شده است که بسیاری از وضعیت هایی که هندسه کلاسیک ( اقلیدسی ) از توضیح آن ها عاجز است، توسط فراکتال ها، به راحتی بیان می شود. به همین دلیل فراکتال ها کاربرد های بسیاری در علوم پیدا کرده اند، از فیزیک و شیمی و هواشناسی گرفته تا بیولوژی ملکولی و پزشکی، از قوانین حاکم بر فراکتال ها استفاده می شود.





ادامه مطلب

درباره : مطالب علمی از دنیای علم وهنر , هندسه , مطالب علمی ,

فضای ان‌بعدی
از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد 
پرش به: ناوبری، جستجو 

در دانش ریاضیات، یک فضای n بعدی یک فضای توپولوژیک است که ابعادش n تا می‌باشد(عدد طبیعی=n). بهترین مثال که مربوط یا شبیه طرح اصلی می‌باشد، یک فضای اقلیدسی n بعدی (En) است که هندسه اقلیدسی را در n بعد توصیف می‌کند. 
گاهی اوقات به فضای n بعدی با اندازه n مقادیر بزرگ مثلاً ۲۰ را فضای با ابعاد پرشمار نیز می‌گویند. اشکال هندسی را نیز می‌توان با هر ارزش عددی n تعمیم داد.
 به عنوان مثال مثلث دو بعدی و چهاروجهی سه بعدی را می‌توان به عنوان نمونه بارز سیمپلکس n بعدی تصور کرد. (سیمپلکس در تعریف هندسی یک مفهوم تعمیم داده شده به یک مثلث یا چهاروجهی است که تعداد ابعاد آن اختیاری فرض می‌گردد، یک n-سیمپلکس که یک چند گوشه n بعدی است پوش محدبش n + ۱ رأس دارد). همچنین دایره و کره را می‌توان به عنوان نمونه بارز فرا-کره n بعدی تصور کرد.
 یک مفهوم عمومی تر می‌گوید، یک خمینه n بعدی، فضایی است که به صورت مکانی شبیه فضای اقلیدسی n بعدی است با این تفاوت که ساختار کروی آن ممکن است نا اقلیدسی باشد. باشد.
 فضای n بعدی بیضوی (Sn) و هذلولوی (Hn) به ترتیب با مقادیر ثابت خمیدگی مثبت و منفی مورد بررسی و مطالعه قرار می‌گیرند.[۱]





ادامه مطلب

درباره : مطالب علمی از دنیای علم وهنر , هندسه , مطالب علمی ,

فراکتال های هندسی

  ساده ترین نوع فراکتال، فراکتال کانتور است. پاره خطی به طول یک واحد در نظر بگیرید و طول آن را به سه قسمت تقسیم کرده و قسمت وسطی را حذف کنید. حالا دو خط داریم که طول آن ها یک سوم طول اولیه است.
 همین عمل را با هر کدام از این پاره خط ها انجام می دهیم. یعنی طول هر کدام را ثلث می کنیم و قسمت وسطی را حذف می کنیم. 
می توان با کامپیوتر برنامه ای نوشت که این عملیات را چندین بار پیاپی انجام دهد.
 اگر این عملیات را بی شمار بار انجام دهیم ( کاری که از عهده کامپیوتر خارج است ) شکلی به دست می آید که مجموعه کانتور نام دارد.
 اگر به کل شکل نگاه کنیم، ساختاری می بینیم که تا بی نهایت ادامه دارد. اگر به سمت راست یا چپ خط دوم شکل نگاه کنیم، ساختاری میبینیم که باز هم تا بی نهایت ادامه یافته و در عین حال، کاملا شبیه شکل کلی است.
 چنین ساختار هایی که هر جز آن با کل مجموعه یکی است و فقط در مقیاس( Scale ) تفاوت دارند را ساختار های خود متشابه Self-similar می گویند.

  یکی از مشهورترین انواع فراکتال ها توسط «هلگ فون کخ» در سال 1904 طراحی شد، در این نوع فراکتال، ابتدا یک پاره خط به طول یک واحد در نظر می گیریم و آن را به سه قسمت تقسیم می کنیم. سپس به جای ضلع وسط دو ضلع مثلث متساوی الاضلاع را قرار می دهیم و این کار را همین طور ادامه می دهیم. 
فراکتال کخ نیز یک نوع فراکتال خود متشابه است. اگر این عمل را روی اضلاع یک مثلث متساوی الاضلاع انجام دهیم، شکل بسیار زیبایی پدید می آید که «دانه برف کخ » نام دارد. فراکتال سر پینسکی یک فراکتال هندسی است.
 اگر مثلث وسطی یک مثلث متساوی الاضلاع را حذف کنیم و برای همه مثلث های باقی مانده هم این عمل را تا بی نهایت انجام دهیم، مجموعه زیبایی از مثلث های پر و خالی به وجود می آید که فراکتال سر پینسکی به دست خواهد آمد.
در همه انواع فراکتال های خود متشابه برای تبدیل هر جز به کل یا اجزای کوچکتر، باید همه ابعاد به یک مقیاس بزرگ شوند. اما نوع دیگر فراکتال را خود الحاقی ( Self-Affine ) می گویند. در این نوع فراکتال ها برای تبدیل شدن به مقیاس بزرگتر باید شکل در هر راستا به ضرایب مختلفی بزرگ نمایی شود. DNA زنجیر طویلی از اسید های نوکلوئیک است که اطلاعات ژنتیکی را در خود ذخیره کرده است. 
اسید های نوکلوئیک دو دسته اند، پریدین و پریمیدین. اگر در طول یک زنجیره DNA برای هر پریدین یک واحد بالا برویم و برای هر پریمیدین یک واحد به پایین، نموداری به دست می آید که داده های زیادی به ما می دهد.
 به این نمودار ولگشت DNA ( DNA Walk ) می گویند. ولگشت های DNA نمونه های خوبی برای فراکتال های خود الحاقی هستند. 
اکثر ساختار های فراکتالی در طبیعت مثل ریشه های گیاهان یا شاخه های درخت ها، ساختار های خوشه ها و کهکشان های کیهان، رشد یک سطح، سوختگی های روی کاغذ، شکستگی های DVD ها و ساختار های زمین شناسی به خصوص اشکال زیبایی که در غار ها مشاهده می شود، خواص فراکتالی خود الحاقی دارند. یکی از زیباترین نمونه های فراکتالی گل کلم است.

ابعاد فراکتال ها

  یکی از نکات بسیار جالب در بررسی فراکتال ها، بعد آن ها است. مثلا می دانیم که مربع مثلا یک شی ریاضی دو بعدی است. این بعد دوم را می توان این گونه به دست آورد که از تقسیم هر ضلع مربع به N قسمت مساوی و وصل کردن نقاط رو به رو به هم، N2 مربع به دست می آید که اندازه هر کدام 1/N2 برابر مساحت مربع اولی است. این شکل یک ساختار فراکتالی دارد که هر ضلع مربع های کوچک با ضریب N به اندازه ضلع مربع اصلی تبدیل می شود. بنابراین بعد هر جسم را می توان این گونه تعریف کرد: نسبت لگاریتم تعداد اشکال خود متشابه به لگاریتم عامل بزرگ نمایی.

D=logN2/logN=2

  حال اگر همین کار را با مجموعه کانتور انجام دهیم چون با دو مجموعه کانتور می توان یک مجموعه کانتور با طول سه برابر مجموعه های اولی ساخت داریم:

D=log2/log3=0.631

  یعنی یک مجموعه کانتر موجودی 0.631 بعدی است. حال اگر به شکل مجموعه کانتور نگاه کنیم ما می بینیم که این مجموعه نه یک خط کامل است که بعد یک داشته باشد و نه یک نقطه که بعد صفر داشته باشد بلکه موجودی بین آن دو است.

  برای فراکتال کخ که بیشتر از خط (بعد 1) و کمتر از صفحه (بعد 2) است، داریم:

D=log4/log3=1.262

  یا برای فراکتال سر پینسکی که فضای بیشتری را نسبت به فراکتال کخ می پوشاند، اما به یک صفحه کامل نمی رسد، داریم:

D=log3/log2=1.58

  در فراکتال ها این بعد فراکتالی است که مهم است و نه مقیاس. زیرا در هر اندازه ای، این بعد فراکتالی خفظ می شود و بیانگر خاصیت اصلی فراکتال است. همین امر کاربرد فراکتال ها را در علم امروزی زیاد کرده است. در کیهان شناسی، ساختار یک کهکشان با یک خوشه کهکشانی ( مجموعه ای از هزاران کهکشان) و یک خوشه نیز با یک ابر خوشه (مجموعه ای از هزاران خوشه کهکشانی) قابل قیاس است. رشد نمونه های میکروبیولوژیکی در محیط های کشت و یا نحوه کارکرد پلیمر های صنعتی ( مثل لاستیک ها) و پلیمر های حیاتی (مثل DNA و پروتئین ها) از مواردی هستند که دانش فراکتال ها را می توان در آن ها به کار برد.

حامد غفاری ( منبع: شرق




ادامه مطلب

درباره : مطالب علمی از دنیای علم وهنر , هندسه , مطالب علمی ,

توپولوژی:
از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد 
پرش به: ناوبری، جستجو 
با توپوگرافی اشتباه گرفته نشود.
برای دیگر کاربردها توپولوژی (ابهام‌زدایی) را ببینید.

توپولوژی[۱] شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی فضاهای توپولوژیکی و خواص بنیادی فضا از جمله همبندی می‌پردازد. توپولوژی یکی از شاخه‌های نسبتاً جوان ریاضیات است.
محتویات [نهفتن] 
۱ نام‌گذاری
۲ تاریخچه
۳ مفاهیم
۴ تعریف ریاضی
۵ مثال
۶ مقایسهٔ توپولوژی‌های تعریف شده روی یک مجموعه
۷ چند قضیه از توپولوژی
۸ یادداشت‌ها
۹ منابع
۱۰ جستارهای وابسته


نام‌گذاری[ویرایش]

نام این رشته از واژه‌های یونانی توپو (τόπος) به‌معنی مکان و (Logos) به‌معنای شناخت گرفته شده‌ است. بنابراین، توپولوژی یعنی مکان‌شناسی.

فرهنگستان زبان و ادب فارسی برای توپولوژی واژه‌ای معادل پیشنهاد نکرده‌ و همان توپولوژی را در نظر گرفته‌ است.
تاریخچه[ویرایش]

این مبحث نخستین‌بار توسط آنری پوانکاره (۱۹۱۲-۱۸۵۴) و در مقاله‌ای با نام «آنالیز مکان» (Analysis Situs) به‌صورت مجموعه‌ای از روش‌ها و مسایل، دسته‌بندی شد. این مبحث در ادامه پیشرفت‌هایی بنیادین داشت و در شکل دادن به ریاضیات قرن بیستم و امروز، نقشی اساسی بازی کرد.

هنگام صحبت از توپولوژی، معمولاً اشیایی مانند نوار موبیوس، بطری کلاین، گره‌ها و حلقه‌ها نخستین چیزهایی هستند که به ذهن می‌آیند. برخی نیز با عبارتی طنزآمیز توپولوژیست‌ها را توصیف می‌کنند؛ آنها می‌گویند توپولوژیست کسی است که فرقی میان فنجان قهوه و پیراشکی نمی‌بیند!
 
تغییرشکل پیوسته (هموتوپی) یک فنجان قهوه به یک چنبره و برعکس.

در دهه ۱۶۷۰ میلادی، گتفرید ویلهلم لایب‌نیتس (۱۷۱۶-۱۶۴۶)، در نامه‌ای به کریستین هویگنس (۱۶۲۹-۱۶۹۵)، به تشریح مفهومی پرداخت که بعدها به مهم‌ترین هدف در مطالعه توپولوژی تبدیل شد:
من معتقدم ما به یک آنالیز دیگری هم نیاز داریم که کاملاً هندسی یا خطی باشد، به‌گونه‌ای که با مکان مستقیماً همان رفتاری را داشته باشد که جبر با مفهوم بزرگی دارد.

لایب‌نیتس رویای حساب دیفرانسیل و انتگرال اشکالی را در سر می‌پروراند که در آن فرد می‌تواند به‌سادگی اعداد و اشکال را با هم ترکیب کند، مانند چندجمله‌ای‌ها، روی آنها عمل انجام دهد و به نتایج جدید و متقن هندسی دست پیدا کند. این دانش مکان، همان است که پوانکاره آن را «آنالیز مکان» نامید. کسی نمی‌داند که لایب‌نیتس دقیقاً چه در سر داشت؛ اما پیداست که لئونارد اویلر (۱۷۰۱-۱۷۸۳) نخستین مشارکت‌ها را در این شاخهٔ جوان--که وی آن را هندسه مکان می‌نامید--از خود ارائه داد. راه‌حل او برای مسئلهٔ پل‌های کنیگسبرگ و فرمول مشهور اویلر، یعنی (که در آن تعداد رأس، تعداد یال و تعداد وجوه چندوجهی است)، نتایجی بودند که به موقعیت‌های نسبی اشکال هندسی--و نه بزرگی آنها--بستگی داشتند.

در سده نوزدهم، کارل فردریک گاوس (۱۷۷۷-۱۸۵۵)، هنگامی که گره‌ها و حلقه‌ها را به‌عنوان تعمیمی از مدارهای سیارات مطالعه می‌کرد، به هندسه مکان علاقه‌مند شد. او با نام‌گذاری اشکال گره‌ها و حلقه‌ها، یک دستگاه مقدماتی به‌وجود آورد که با روش ترکیبیاتی، گره‌های معینی را از یکدیگر مجزا می‌ساخت. برنهارد ریمان (۱۸۲۶-۱۸۶۶) نیز از روش‌های دانش نوپای آنالیز مکان، به‌عنوان ابزاری بنیادین برای مطالعه توابع مختلط بهره جست.
 
یک نوار موبیوس تنها یک سطح دارد و یک لبه.

در طی سده نوزدهم، آنالیز به‌عنوان دانشی ژرف و در عین حال ظریف پیشرفت پیدا می‌کرد. با آغاز از کارهای ژرژ کانتور (۱۸۴۵-۱۹۱۸)، ایده‌هایی از جمله پیوستگی توابع و هم‌گرایی دنباله‌ها، به‌گونه‌ای فزاینده و در موقعیت‌های کلی بررسی می‌شدند تا این که در سده بیستم، و در سال ۱۹۱۴، فلیکس هاوسدورف (۱۸۶۹-۱۹۴۲) ایده کلی فضای توپولوژیکی را مطرح کرد.

مفهوم بنیادین در توپولوژی، اندیشه پیوستگی است و این مفهوم برای نگاشت‌های میان دو مجموعه که مجهز به مفهومی از «نزدیک بودن» باشند تعریف می‌شود (یعنی همان فضاهای توپولوژیکی) و البته این نزدیک بودن، تحت نگاشت‌های پیوسته حفظ می‌شود. بدین ترتیب، می‌توان گفت توپولوژی نوعی هندسه‌ است که در آن خواص مهم یک شکل، آنهایی درنظر گرفته می‌شوند که تحت حرکت‌های پیوسته (همئومورفیسم‌ها) حفظ گردند. از این دیدگاه، توپولوژی را می‌توان به‌عنوان هندسه‌ی صفحاتی لاستیک‌گونه تعریف کرد.
مفاهیم[ویرایش]

توپولوژی یکی از زمینه‌های مهم ریاضیات است که از پیشرفت مفاهیمی از هندسی و نظریه مجموعه‌ها مانند فضا، بعد، اشکال، تبدیلات و... بوجود آمده‌ است. از جنبه تاریخی توپولوژی در سال ۱۸۴۷ از سوی لیستنگ، یکی از شاگردان گاوس، معرفی شد. نام دیگری که در آغاز بسط توپولوژی به این موضوع اطلاق می‌شد، آنالیز موقعیت (Analysis Situs) بود.

توپولوژی دارای زیرشاخه‌های زیادی است. بنیادی‌ترین و قدیمی‌ترین زیرشاخه، توپولوژی نقطه-مجموعه‌ است که بنیادهای توپولوژی بر آن بنا شده‌ است و به مطالعه در زمینه‌های فشردگی، پیوستگی و هم‌بندی می‌پردازد. توپولوژی جبری نیز یکی دیگر از زیرشاخه‌های توپولوژی است که سعی در محاسبه درجه هم‌بندی دارد. همچنین زیرشاخه‌هایی مانند توپولوژی هندسی، توپولوژی گراف و توپولوژی ابعاد پایین نیز وجود دارند.

توپولوژی مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی است که در طی تغییر شکلها، ضربه خوردن‌ها و کشیده شدن اشیاء، به طور ثابت حفظ می‌شوند (البته عمل پاره کردن مجاز نمی‌باشد). یک دایره به لحاظ توپولوژیکی هم‌ارز با یک بیضی می‌باشد که می‌تواند در داخل آن با کشیده شدن تغییر شکل یابد و یک کره با یک سطح بیضی‌وار هم‌ارز است (یعنی یک منحنی بسته تک بعدی و بدون هیچ محل تقاطع که می‌تواند در فضای دو بعدی جای گیرد)، مجموعه تمام وضعیتهای ممکن برای عقربه‌های ساعت‌شمار و دقیقه‌شمار با هم، به لحاظ توپولوژیکی با چنبره هم‌ارز است (یعنی یک سطح دوبعدی که می‌تواند در داخل فضای سه بعدی جای گیرد) و مجموعه تمام وضعیت‌های ممکن برای عقربه‌های ساعت‌شمار، دقیقه‌شمار و ثانیه‌شمار با هم، به لحاظ توپولوژی با یک شیء سه بعدی هم‌ارز می‌باشد.

توپولوژی با منحنی‌ها، سطوح و سایر اشیاء در صفحه و فضای سه بعدی مطرح گردید. یکی از ایده‌های اصلی در توپولوژی این است که اشیاء فضایی مثل دایره‌ها و کره‌ها در نوع خود می‌توانند به عنوان اشیاء محسوب شوند و علم اشیاء ارتباطی با چگونگی نمایش یافتن یا جای گرفتن آنها در فضا ندارد.

توپولوژی با مطالعه مواردی چون اشیاء فضایی از قبیل منحنی‌ها، سطوح، فضایی که ما آن را جهان می‌نامیم، پیوستار فضا زمان با نسبیت عمومی، فراکتال‌ها، گره‌ها، چند شکلی‌ها (اشیایی هستند که برخی خصوصیات فضایی اصلی آن‌ها مشابه با جهان ما می‌باشد)، فضاهای مرحله‌ای که در فیزیک با آن‌ها مواجه می‌شویم (مثل فضای وضعیت‌های قرار گرفتن عقربه‌ها در ساعت)، گروه‌های متقارن همچون مجموعه شیوه‌های چرخاندن یک رأس و غیره در ارتباط است.

توپولوژی برای جدا سازی اتصال ذاتی اشیاء و در عین حال کنار گذاشتن ساختار جزء به جزء آنها قابل استفاده می‌باشد. اشیاء توپولوژیکی اغلب به صورت رسمی به عنوان فضاهای توپولوژیکی تعریف می‌شوند. اگر دو شیء دارای خصوصیات توپولوژیکی مشابه باشند، گفته می‌شود که آن‌ها هم ریخت هستند. البته اگر دقیق تر بگوییم، خصوصیاتی که با کشیدن یا کج کردن یک شیء تخریب نمی‌شوند، در واقع خصوصیاتی هستند که به واسطه همسانگری حفظ می‌شوند نه به واسطهٔ هم ریختی؛ همسانگری با کج کردن اشیاء دیگر در ارتباط است در حالیکه همریختی، خصیصه ذاتی است. 

حدود سال ۱۹۰۰، پوانکاره معیاری از توپولوژی را تحت عنوان هوموتوپی (Homotopy) طراحی کرد. به طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می‌شوند که یکی از آنها بتواند به طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد.

توپولوژِی با مطالعاتی که در زمینه پرسش‌هایی که در هندسه مطرح بود، آغاز شد. مسئله ۷ پل کانیگزبرگ اویلر جز اولین نتایج توپولوژیک بود. نمونه رابطه توپولوژیکی، فرمول اویلر است در مورد چندوجهی‌ها که تعداد رئوس (v) منهای تعداد خطوط یا لبه‌ها (e) باضافه تعداد سطوح (f) همیشه برابر است با ۲ است.(v - e + f =۲)

فرمول اویلر در سال ۱۷۵۲ منتشر شد ولی ۶۳ سال بعد در سال ۱۸۱۳ ریاضیدان سویسی بنام لیولیر اثبات کرد که فرمول اویلر برای چندوجهی‌های سوراخدار صحیح نیست و فرمول کامل چنین است: v – e + f = ۲g، که g تعداد سوراخ‌ها است.

۵۲ سال بعد از لیولیر، در سال ۱۸۶۵، موبیوس نوار خود را معرفی کرد که فقط یک رویه دارد و از نواری بدست می‌آید که قبل از چسباندن دو سرش به یکدیگر، یک سر را ۱۸۰درجه بچرخانیم و بعد بچسبانیم. ۱۷ سال بعد در سال ۱۸۸۲ ریاضیدان آلمانی فلیکس کلاین بطری معروف به «بطری کلاین» را معرفی کرد که درون و برون آن از هم متمایز نیستند و بعبارتی دیگر حجم آن صفر است. توپولوژی مدرن وابسته به ایدهٔ تئوری مجموعه‌های کانتر می‌باشد که در اواخر قرن ۱۹ مطرح شد.

مجموعه X به همراه گردایه T از زیرمجموعه‌های X را یک فضای توپولوژیکی گویند هر گاه: مجموعه‌های تهی و X، عضو T باشند. اجتماع هر گردایه از مجموعه‌های عضو T در T قرار دارد. اشتراک هر دو مجموعه عضو T در T قرار دارد. مجموعه T را یک توپولوژی روی X می‌گوییم. همچنین اعضای T مجموعه‌های باز در X و متتم آنها مجموعه‌های بسته در X هستند. اعضای X را نقاط می‌نامیم. وی یک مجموعه مانند X توپولوژیهای متعددی می‌توان تعریف کرد (حداقل دو توپولوژی گسسته و ناگسسته را می‌توانیم روی X تعریف کنیم). حال فرض کنید T۱ و T۲ دو توپولوژی روی X هستند. اگر هر عضو T۱، عضوی از T۲ نیز باشد آنگاه می‌گوییم T۲ ظریفتر از T۱ است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعه باز معین ارائه می‌دهیم در مورد توپولوژی ظریفتر هم برقرار است. توابع پیوسته: فرض می‌کنیم (X,T) و (Y,U) دو فضای توپولوژیک دلخواه باشند: تابع در نقطه x واقع در X را پیوسته گوییم، هرگاه به ازای هر مجموعه باز شامل f(x) مانند BY، مجموعه بازی مانند BX شامل x وجود داشته باشد به طوری که f[BX] زیر مجموعه BY باشد. مثال: R یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن بازه‌های باز هستند. به طور کلی فضای اقلیدسی Rn یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن گوی‌های باز هستند. چند قضیه توپولوژی: هر بازه بسته با طول متناهی در Rn فشرده‌است. و معکوس تصویر پیوسته یک فضای فشرده، فشرده‌است. قضیه تیخونوف: حاصلضرب فضاهای فشرده، یک فضای فشرده‌است. زیر مجموعه فشرده یک فضای هاسدورف، بسته‌است. هر فضای متری هاسدورف است. به همین ترتیب می‌گوییم تابع در مجموعهٔ A واقع در X پیوسته‌است رد صورتی که در تمام نقاط A پیوسته باشد. قضیه: تابع در X پیوسته‌است اگر و تنها اگر به ازای هر زیر مجموعه باز در Y مانند BY، مجموعه‌یf[BY] − ۱ زیر مجموعه باز X باشد. به طور خلاصه: فرض کنید X و Y دو فضای توپولوژیکی هستند. یک تابع بین X و Y را پیوسته می‌گوییم اگر تصویر معکوس هر مجموعه باز در X یک مجموعه باز در Y باشد. در واقع نشان می‌دهیم که هیچ شکستگی یا انفصال در تابع وجود ندارد.
تعریف ریاضی[ویرایش]

یک فضای توپولوژیکی، زوج مرتبی مانند است که در آن یک مجموعه، و نیز گردایه‌ای از زیرمجموعه‌های است، به‌گونه‌ای که اصول موضوع زیر ارضا شوند:
۱. اجتماع هر گردایه از مجموعه‌های عضو در قرار داشته باشد؛
۲. اشتراک هر تعداد متناهی مجموعه عضو در قرار داشته باشد؛ یعنی اشتراک هر گردایه متناهی از مجموعه‌های عضو در قرار داشته باشد؛
۳. مجموعه‌های تهی و ، عضو باشند.

گردایهٔ ، توپولوژی تعریف شده روی نام دارد. اگر توپولوژی تعریف شده روی مشخص باشد، فضای توپولوژیکی ، به‌طور ساده‌شدهٔ نوشته و به آن فضای گفته می‌شود. هم‌چنین، اعضای ، مجموعه‌های باز در و متمم آنها، مجموعه‌های بسته در نام دارند. اگر یک فضای توپولوژیکی باشد، به اعضای آن نقطه گفته می‌شود. اگر نقطه‌ای از یک مجموعهٔ باز مانند باشد، به ، «یک همسایگی از » نیز گفته می‌شود.
مثال[ویرایش]

روی توپولوژی‌های گوناگونی می‌توان تعریف کرد؛ اگر مجموعه‌های باز را همان بازه‌های باز درنظر بگیریم، در این‌صورت به توپولوژی به‌دست آمده، توپولوژی استاندارد روی گفته می‌شود. با تعمیم این ایده، مجموعه‌های باز در توپولوژی معمولی روی فضای اقلیدسی ، گوی‌های باز هستند.


مقایسهٔ توپولوژی‌های تعریف شده روی یک مجموعه[ویرایش]

روی یک مجموعه مانند توپولوژی‌های متعددی می‌توان تعریف کرد--دست‌کم دو توپولوژی گسسته و ناگسسته. در توپولوژی گسسته، هر زیرمجموعه از ، یک مجموعه باز درنظر گرفته می‌شود و در توپولوژی ناگسسته یا بی‌مایه، تنها مجموعه‌های باز، مجموعهٔ و تهی هستند.

برای هر توپولوژی تعریف شده روی داریم . پس درشت‌ترین توپولوژی که روی یک مجموعه می‌توان تعریف کرد، توپولوژی ناگسسته یا بی‌مایه، و ظریف‌ترین توپولوژی قابل تعریف روی یک مجموعه، توپولوژی گسسته‌است.

حال فرض کنید و دو توپولوژی روی باشند. اگر هر عضو ، عضوی از نیز باشد، آن‌گاه گفته می‌شود ظریف‌تر از است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعهٔ باز معین ارائه داده می‌شود، در مورد توپولوژی ظریف‌تر هم برقرار است.
چند قضیه از توپولوژی[ویرایش]
هر بازه بسته با طول متناهی در Rn فشرده است. و معکوس
تصویر پیوسته یک فضای فشرده، فشرده‌است.
قضیه تیخونوف: حاصلضرب فضاهای فشرده، یک فضای فشرده‌است.
زیر مجموعه فشرده یک فضای هاسدورف، بسته است.
هر فضای متری هاسدورف است.
یادداشت‌ها[ویرایش]

‎↑ در حوزهٔ ریاضیات واژهٔ مصوب فرهنگستان زبان و ادب فارسی برای topology، «توپولوژی» است. اما در حوزهٔ مخابرات و رایانه واژهٔ مصوب فرهنگستان زبان و ادب فارسی برای topology، «هم‌بندی» است.
منابع[ویرایش]
Basener, William (2006). Topology and Its Applications (1st ed.). Wiley. ISBN 0-471-68755-3.
Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
Breitenberger, E. (2006). "Johann Benedict Listing". In I.M. James. History of Topology. North Holland. ISBN 978-0444823755.
Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.
Dugunji J. Topology. Allyn and Bacon, Inc., 1989.
Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov
An invitation to Topology Planar Machines' website
کلاوس ینیش، ترجمهٔ ارسلان شادمان. توپولوژی‌. مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۷۶. ISBN ‎964-01-0838-3.
علی‌رضا جمالی. توپولوژی عم‍ومی (رشت‍ه ریاضی‌). انتشارات دانشگاه پیام نور، ۱۳۸۲. ISBN ‎964-455-182-6. این یک نوشتار خُرد پیرامون ریاضیات است. با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنی



ادامه مطلب

درباره : مطالب علمی از دنیای علم وهنر , هندسه , مطالب علمی ,

هندسه

(به انگلیسی: Geometry)‏ ((به یونانی: γεωμετρία)‏؛ ژئو "زمین"، -مترون "اندازه گیری") شاخه ای از ریاضیات است که با شکل، اندازه، موقعیت نسبی اشکال و ویژگیهای فضا سروکار دارد. ریاضیدانی که در شاخهٔ هندسه کار می‌کند هندسه‌دان نامیده می شود. هندسه به طور مستقلی در پاره‌ای از تمدنهای اولیه به شکل بدنه‌ای از دانش عملی در مورد طول، مساحت و حجم ظهور کرد و پایه‌ریزی آن به عنوان یک دانش رسمی ریاضی در زمان تالس (قرن ششم پیش از میلاد) در غرب آغاز شد. در قرن سوم پیش از میلاد هندسه توسط اقلیدس به شکل اصل موضوعی در آمده بود و کار اقلیدس - هندسه اقلیدسی - استانداردی را پایه ریزی نمود که قرنها دنبال شد.[۱] ارشمیدس روشهای هوشمندانه‌ای برای محاسبهٔ مساحت و حجم ارائه داد که در بسیاری موارد پیشرو حساب انتگرال جدید محسوب می شوند. دانش اخترشناسی و به ویژه نگاشتن مکان ستاره‌ها و سیاره‌ها روی کره آسمان و توصیف رابطهٔ بین حرکت اجسام آسمانی تا هزار و پانصد سال بعد منشا بسیاری از پرسشهای هندسی بود. هر دوی هندسه و اخترشناسی در دنیای کلاسیک بخشی از کوادریویم بودند که خود زیرمجموعه‌ای از علوم مقدماتی هفتگانه بود که یادگیری آنها برای هر شهروند آزادی ضروری می‌نمود.

معرفی دستگاه مختصات توسط رنه دکارت و توسعه همزمان در جبر، مرحله تازه ای را در هندسه آغاز کرد؛ زیرا اشکال هندسی همچون منحنی های رویه ای را می شد به شکل تحلیلی یعنی با توابع و معادلات نمایش داد. این موضوع نقش کلیدی در پیدایش حساب بی نهایت کوچک در قرن هفدهم داشت. علاوه براین نظریه ژرفانمایی نیز نشان داد که در هندسه چیزی بیش از ویژگی های متریک اشکال وجود دارد. نظریه ژرفانمایی بنیان هندسه تصویری را بنا نهاد. موضوع هندسه با مطالعه ساختار ذاتی اجسام هندسی و با شروع از کارهای اویلر و گاوس ، غنی تر گردید و به پیدایش توپولوژی و هندسه دیفرانسیل انجامید.

در دوران اقلیدس تمایز آشکاری بین فضای فیزیکی و فضای هندسی وجود نداشت.از قرن نوزدهم و کشف هندسه نااقلیدسی مفهوم فضا دستخوش تغییرات اساسی شده است و پرسشی پدید آمده است: کدام فضای هندسی تطابق بیشتری با فضای فیزیکی دارد؟ امروزه باید بین فضای فیزیکی، فضای هندسی (که در آن هنوز خط و نقطه معانی حسی خود را دارا هستند) و فضاهای انتزاعی تمایز قائل شد. هندسه معاصر امروز با خمینه ها سر و کار دارد؛ فضاهایی که از فضای اقلیدسی آشنا بسیار انتزاعی تر است. می توان به این فضا ها ساختارهایی افزود که بتوانیم در مورد طول در این فضا ها صحبت کنیم.هندسه مدرن پیوند های مستحکمی با فیزیک دارد که به طور نمونه می توان به هندسه شبه ریمانی و نسبیت عام اشاره نمود. یکی از جوانترین نظریه های فیزیکی یعنی نظریه ریسمان نیز حال و هوایی هندسی دارد.

اگرچه ماهیت تصویری هندسه آن را در ابتدا از سایر شاخه های ریاضیات مانند جبر و نظریه اعداد قابل درک تر می نماید، زبان هندسی نیز در زمینه هایی که بسیار با حالت سنتی اقلیدسی آن تفاوت دارد به کار رفته است (مثلا هندسه فراکتالی یا هندسه جبری).[۲]




ادامه مطلب

درباره : مطالب علمی از دنیای علم وهنر , هندسه , مطالب علمی ,

هندسه عملی[ویرایش]

هندسه به عنوان دانشی عملی یه وجود آمد و با بررسی، اندازه گیری، مساحت و حجم مرتبط بود. دستاوردهای قابل توجه آن کشف فرمولهایی برای طول، مساحت و حجم بودند.مثل قضیه فیثاغورس ، محیط و مساحت دایره، مساحت مثلث، حجم استوانه، کره و هرم. روشی برای محاسبه فواصل و ارتفاعهای دور از دسترس بااستفاده از تشابه به تالس نسبت داده می شود. رشد اخترشناسی به پیدایش مثلثات و مثلثات کروی انجامید.
هندسه اصل موضوعی[ویرایش]

اقلیدس در کتاب اصول خود دیدگاهی انتزاعی تر در پیش گرفت و اصول موضوع خاصی را مطرح نمود که ویژگیهای اولیه یا خودآشکار نقطه، خط و صفحه را بیان می کرد و برای انتاج سایر ویژگی ها از استدلال استفاده کرد. مشخصه مهم دیدگاه اقلیدس استواری نتیجه گیری ها بود. در ابتدای قرن نوزدهم کشف هندسه های نا اقلیدسی توسط گاوس، لباچفسکی و یانوش بویویی و دیگران به احیای علاقه منجر شد و در قرن بیستم داوید هیلبرت استدلال اصل موضوعی را برای ارائه بنیان مدرن هندسه به کار گرفت.




ادامه مطلب

درباره : مطالب علمی از دنیای علم وهنر , هندسه , مطالب علمی ,

نسبت طلایی یا عدد فی

(به انگلیسی: Golden ratio)‏ در ریاضیات و هنر هنگامی است که «نسبت بخش بزرگتر به بخش کوچکتر، برابر با نسبت کل به بخش بزرگتر» باشد.[۱]»

تعریف دیگر نسبت طلایی این است که «عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید». تعریف هندسی آن چنین است: طول مستطیلی به مساحت واحد که عرض آن یک واحد کمتر از طولش باشد.
محتویات 
۱ عدد فی
۲ عدد فی با تعداد اعشار بیشتر
۳ پیشینه
۴ طبیعت
۵ نسبت طلایی در ایران
۶ عدد فی و معماری اسلامی
۷ ترسیم
۸ محاسبات
۹ جستارهای وابسته
۱۰ پانویس
۱۱ منابع


عدد فی[ویرایش]

بسیاری از مراجع علمی، حرف یونانی یا عدد فی را برای این عدد انتخاب کرده‌اند. مقدار عددی عدد طلایی برابر به طور تقریبی برابر است با:


تعبیر هندسی دیگر اینگونه‌است: پاره خط AB و نقطهٔ M روی آن مفروضند به گونه‌ای که نسبت a به b برابر است با نسبت a+b به a. این نسبت برابر φ است. یعنی:

عدد فی با تعداد اعشار بیشتر[ویرایش]

عدد فی با تعداد اعشار بیشتر به شرح زیر است.[۲]

۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۴۸۴۸۲۰۴۵۸۶۸۳۴۳۶۵۶۳۸۱۱۷۷۲۰۳۰۹۱۷۹۸۰۵۷۶۲۸۶۲۱۳۵۴۴۸۶۲۲۷۰۵۲۶۰۴۶۲۸۱۸۹۰ ۲۴۴۹۷۰۷۲۰۷۲۰۴۱۸۹۳۹۱۱۳۷۴۸۴۷۵۴۰۸۸۰۷۵۳۸۶۸۹۱۷۵۲۱۲۶۶۳۳۸۶۲۲۲۳۵۳۶۹۳۱۷۹۳۱۸۰۰۶۰۷۶۶۷۲۶۳۵ ۴۴۳۳۳۸۹۰۸۶۵۹۵۹۳۹۵۸۲۹۰۵۶۳۸۳۲۲۶۶۱۳۱۹۹۲۸۲۹۰۲۶۷۸۸۰۶۷۵۲۰۸۷۶۶۸۹۲۵۰۱۷۱۱۶۹۶۲۰۷۰۳۲۲۲۱۰۴ ۳۲۱۶۲۶۹۵۴۸۶۲۶۲۹۶۳۱۳۶۱۴۴۳۸۱۴۹۷۵۸۷۰۱۲۲۰۳۴۰۸۰۵۸۸۷۹۵۴۴۵۴۷۴۹۲۴۶۱۸۵۶۹۵۳۶۴۸۶۴۴۴۹۲۴۱۰۴ ۴۳۲۰۷۷۱۳۴۴۹۴۷۰۴۹۵۶۵۸۴۶۷۸۸۵۰۹۸۷۴۳۳۹۴۴۲۲۱۲۵۴۴۸۷۷۰۶۶۴۷۸۰۹۱۵۸۸۴۶۰۷۴۹۹۸۸۷۱۲۴۰۰۷۶۵۲۱ ۷۰۵۷۵۱۷۹۷۸۸۳۴۱۶۶۲۵۶۲۴۹۴۰۷۵۸۹۰۶۹۷۰۴۰۰۰۲۸۱۲۱۰۴۲۷۶۲۱۷۷۱۱۱۷۷۷۸۰۵۳۱۵۳۱۷۱۴۱۰۱۱۷۰۴۶۶۶ ۵۹۹۱۴۶۶۹۷۹۸۷۳۱۷۶۱۳۵۶۰۰۶۷۰۸۷۴۸۰۷۱۰۱۳۱۷۹۵۲۳۶۸۹۴۲۷۵۲۱۹۴۸۴۳۵۳۰۵۶۷۸۳۰۰۲۲۸۷۸۵۶۹۹۷۸۲۹ ۷۷۸۳۴۷۸۴۵۸۷۸۲۲۸۹۱۱۰۹۷۶۲۵۰۰۳۰۲۶۹۶۱۵۶۱۷۰۰۲۵۰۴۶۴۳۳۸۲۴۳۷۷۶۴۸۶۱۰۲۸۳۸۳۱۲۶۸۳۳۰۳۷۲۴۲۹۲ ۶۷۵۲۶۳۱۱۶۵۳۳۹۲۴۷۳۱۶۷۱۱۱۲۱۱۵۸۸۱۸۶۳۸۵۱۳۳۱۶۲۰۳۸۴۰۰۵۲۲۲۱۶۵۷۹۱۲۸۶۶۷۵۲۹۴۶۵۴۹۰۶۸۱۱۳۱۷ ۱۵۹۹۳۴۳۲۳۵۹۷۳۴۹۴۹۸۵۰۹۰۴۰۹۴۷۶۲۱۳۲۲۲۹۸۱۰۱۷۲۶۱۰۷۰۵۹۶۱۱۶۴۵۶۲۹۹۰۹۸۱۶۲۹۰۵۵۵۲۰۸۵۲۴۷۹۰ ۳۵۲۴۰۶۰۲۰۱۷۲۷۹۹۷۴۷۱۷۵۳۴۲۷۷۷۵۹۲۷۷۸۶۲۵۶۱۹۴۳۲۰۸۲۷۵۰۵۱۳۱۲۱۸۱۵۶۲۸۵۵۱۲۲۲۴۸۰۹۳۹۴۷۱۲۳۴ ۱۴۵۱۷۰۲۲۳۷۳۵۸۰۵۷۷۲۷۸۶۱۶۰۰۸۶۸۸۳۸۲۹۵۲۳۰۴۵۹۲۶۴۷۸۷۸۰۱۷۸۸۹۹۲۱۹۹۰۲۷۰۷۷۶۹۰۳۸۹۵۳۲۱۹۶۸۱ ۹۸۶۱۵۱۴۳۷۸۰۳۱۴۹۹۷۴۱۱۰۶۹۲۶۰۸۸۶۷۴۲۹۶۲۲۶۷۵۷۵۶۰۵۲۳۱۷۲۷۷۷۵۲۰۳۵۳۶۱۳۹۳۶۲۱۰۷۶۷۳۸۹۳۷۶۴۵ ۵۶۰۶۰۶۰۵۹۲۱۶۵۸۹۴۶۶۷۵۹۵۵۱۹۰۰۴۰۰۵۵۵۹۰۸۹۵۰۲۲۹۵۳۰۹۴۲۳۱۲۴۸۲۳۵۵۲۱۲۲۱۲۴۱۵۴۴۴۰۰۶۴۷۰۳۴۰ ۵۶۵۷۳۴۷۹۷۶۶۳۹۷۲۳۹۴۹۴۹۹۴۶۵۸۴۵۷۸۸۷۳۰۳۹۶۲۳۰۹۰۳۷۵۰۳۳۹۹۳۸۵۶۲۱۰۲۴۲۳۶۹۰۲۵۱۳۸۶۸۰۴۱۴۵۷۷ ۹۹۵۶۹۸۱۲۲۴۴۵۷۴۷۱۷۸۰۳۴۱۷۳۱۲۶۴۵۳۲۲۰۴۱۶۳۹۷۲۳۲۱۳۴۰۴۴۴۴۹۴۸۷۳۰۲۳۱۵۴۱۷۶۷۶۸۹۳۷۵۲۱۰۳۰۶۸ ۷۳۷۸۸۰۳۴۴۱۷۰۰۹۳۹۵۴۴۰۹۶۲۷۹۵۵۸۹۸۶۷۸۷۲۳۲۰۹۵۱۲۴۲۶۸۹۳۵۵۷۳۰۹۷۰۴۵۰۹۵۹۵۶۸۴۴۰۱۷۵۵۵۱۹۸۸۱ ۹۲۱۸۰۲۰۶۴۰۵۲۹۰۵۵۱۸۹۳۴۹۴۷۵۹۲۶۰۰۷۳۴۸۵۲۲۸۲۱۰۱۰۸۸۱۹۴۶۴۴۵۴۴۲۲۲۳۱۸۸۹۱۳۱۹۲۹۴۶۸۹۶۲۲۰۰۲ ۳۰۱۴۴۳۷۷۰۲۶۹۹۲۳۰۰۷۸۰۳۰۸۵۲۶۱۱۸۰۷۵۴۵۱۹۲۸۸۷۷۰۵۰۲۱۰۹۶۸۴۲۴۹۳۶۲۷۱۳۵۹۲۵۱۸۷۶۰۷۷۷۸۸۴۶۶۵ ۸۳۶۱۵۰۲۳۸۹۱۳۴۹۳۳۳۳۱۲۲۳۱۰۵۳۳۹۲۳۲۱۳۶۲۴۳۱۹۲۶۳۷۲۸۹۱۰۶۷۰۵۰۳۳۹۹۲۸۲۲۶۵۲۶۳۵۵۶۲۰۹۰۲۹۷۹۸ ۶۴۲۴۷۲۷۵۹۷۷۲۵۶۵۵۰۸۶۱۵۴۸۷۵۴۳۵۷۴۸۲۶۴۷۱۸۱۴۱۴۵۱۲۷۰۰۰۶۰۲۳۸۹۰۱۶۲۰۷۷۷۳۲۲۴۴۹۹۴۳۵۳۰۸۸۹۹ ۹۰۹۵۰۱۶۸۰۳۲۸۱۱۲۱۹۴۳۲۰۴۸۱۹۶۴۳۸۷۶۷۵۸۶۳۳۱۴۷۹۸۵۷۱۹۱۱۳۹۷۸۱۵۳۹۷۸۰۷۴۷۶۱۵۰۷۷۲۲۱۱۷۵۰۸۲۶ ۹۴۵۸۶۳۹۳۲۰۴۵۶۵۲۰۹۸۹۶۹۸۵۵۵۶۷۸۱۴۱۰۶۹۶۸۳۷۲۸۸۴۰۵۸۷۴۶۱۰۳۳۷۸۱۰۵۴۴۴۳۹۰۹۴۳۶۸۳۵۸۳۵۸۱۳۸۱ ۱۳۱۱۶۸۹۹۳۸۵۵۵۷۶۹۷۵۴۸۴۱۴۹۱۴۴۵۳۴۱۵۰۹۱۲۹۵۴۰۷۰۰۵۰۱۹۴۷۷۵۴۸۶۱۶۳۰۷۵۴۲۲۶۴۱۷۲۹۳۹۴۶۸۰۳۶۷ ۳۱۹۸۰۵۸۶۱۸۳۳۹۱۸۳۲۸۵۹۹۱۳۰۳۹۶۰۷۲۰۱۴۴۵۵۹۵۰۴۴۹۷۷۹۲۱۲۰۷۶۱۲۴۷۸۵۶۴۵۹۱۶۱۶۰۸۳۷۰۵۹۴۹۸۷۸۶ ۰۰۶۹۷۰۱۸۹۴۰۹۸۸۶۴۰۰۷۶۴۴۳۶۱۷۰۹۳۳۴۱۷۲۷۰۹۱۹۱۴۳۳۶۵۰۱۳۷۱۵۷۶۶۰۱۱۴۸۰۳۸۱۴۳۰۶۲۶۲۳۸۰۵۱۴۳۲...
پیشینه[ویرایش]

پیشینه توجه به عدد طلایی نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می‌رسد.اقلیدس در جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد، این نسبت را مطرح کرده‌است. لوکا پاچیولی در سال ۱۵۰۹ میلادی کتابی با عنوان نسبت الهی (The Divine Proportion) تالیف کرد. وی در آن نقاشی‌هایی از لئوناردو داوینچی آورده‌است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می‌دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده‌است.

مصریان، سالها قبل از میلاد از این نسبت آگاه بوده‌اند و آن را در ساخت اهرام مصر رعایت کرده‌اند. بسیاری از الگوهای طبیعی در بدن انسان این نسبت را دارا هستند. نسبت طول ضلع پنج پر منتظم به طول ضلع پنج ضلعی منتظم برابر همین عدد است. روانشناسان هم بر این باورند زیباترین مستطیل به دید انسان، مستطیلی است که نسبت طول به عرض آن برابر عدد طلایی باشد.
طبیعت[ویرایش]

لئوناردو داوینچی اولین کسی بود که نسبت دقیق استخوان‌های انسان را اندازه گیری نمود و ثابت کرد که این تناسبات با ضریب عدد طلایی هستند.
نسبت طلایی در ایران[ویرایش]

برج و میدان آزادی:طول بنا ۶۳ و عرض ان ۴۲ است که ۵/۱=۴۲: ۶۳ و به عدد طلایی نزدیک می‌باشدسبک معماری آن نیزطاق بزرگی است که تلفیقی از سبک هخامنشی و ساسانی و اسلامی است که منحنی آن با الهام از طاق کسری معماری ایران باستان را تداعی می‌نماید.

قلعه دالاهو، کرمانشاه:خطی از استحکامات به طول دو و نیم کیلومتر و عرض چهار متر با قلوه و لاشه سنگ به همراه ملات دیوار گچ را می‌سازد. سرتاسر نمای خارجی این دیوار با مجموعه‌ای از برج‌های نیم دایره‌ای شکل تقویت شده است. می دانیم۶/۱=۵/۲: ۴ که همان عدد طلایی است.

بیستون از دوره هخامنشی، کرمانشاه:به طول ۵ کیلومتر و عرض ۳ کیلومتراست. اعداد۵و۳هردوجزودنباله فیبوناتچی هستندو۶/۱=۵:۳ و ابعاد برجسته کاری ۱۸ در ۱۰ پاست که قامت "داریوش"۵ پا و ۸ اینچ (۱۷۰ سانتیمتر) بلندی داردکه هر دو اعداد فیبوناتچی هستند.

یکی از هنرهای معماری در تخت جمشید این است که نسبت ارتفاع سر درها به عرض آنها و همین طور نسبت ارتفاع ستون‌ها به فاصلهٔ بین دو ستون نسبت طلایی است. نسبت طلایی نسبت مهمی در هندسه است که در طبیعت وجود دارد. این نشانگر هنر ابرانیان باستان در معماری است.

پل ورسک در مازندران: این پل بر روی رودخانه ورسک در مجاورت سواد کوه بنا شد. بلندی این پل ۱۱۰ متر است وطول قوس آن ۶۶ متر می‌باشد(۶/۱ = ۶۶: ۱۱۰).

مقبره ابن سینا:آرامگاه دروسط تالاری مربع شکل قرارگرفته که پله مدور (مارپیچ فیبوناتچی) و پایه‌های دوازده گانه برج را احاطه کرده‌اند. سطح حیاط باسه پله سراسری به ایوان متصل است. ایوان با دری به ارتفاع ۲/۳ متر و عرض ۹/۱ متر به سرسرای آرامگاه متصل است (۶/۱=۹/۱: ۲/۳)در دو طرف سرسرا دو تالار قرار دارد یکی در جنوب که تالار سخنرانی و اجتماعات است. و یکی در شمال که کتابخانه آرامگاه است. طول تالار کتابخانه ۴۵/۹ متر وعرض آن ۷۵/۵ متر است(۶/۱=۷۵/۵: ۴۵/۹)

ارگ بم:این بنا ۳۰۰ متر طول و ۲۰۰ متر عرض داشته و از ۲ قسمت تشکیل شده است. این دﮋ ۵ شیوه ساختاری از خشت خام دارد. (۳ و ۲ و ۵ اعداد دنباله فیبوناتچی هستند)

میدان نقش جهان و مسجد لطف الله:در کتب اخیر، نویسنده جیسون الیوت بر این باور است که نسبت طلایی توسط طراحان میدان نقش جهان و در مجاورت مسجد لطف الله مورد استفاده قرار گرفته است.[۳]
عدد فی و معماری اسلامی[ویرایش]

گفته می‌شود که: "اگر فاصله کعبه را در شهر مکه تا قطب شمال و جنوب اندازه گرفته و به هم تقسیم کنید عدد فی بدست خواهد آمد. برای اطمینان می‌توانید از نرم‌افزار Google Earth استفاده کنید و به این حقیقت دست یابید." کعبه در لتیتودِ ۲۱٫۴۲۲۴۹۴۵ می‌باشد که به تناسبِ (۹۰-۲۱٫۴۲۲۴۹۴۵)/(۹۰+۲۱٫۴۲۲۴۹۴۵) برابر با ۱٫۶۲۴۷۶۷۳۹ می‌باشد که با عددِ فی تطابق دارد.

تاکنون نه تنها در کتاب رمز داوینچی بلکه پیام‌ها، اسرار مذهبی و کهن در دیوارهای زیارتگاه‌های اسلامی به صورت رمز قرار مشاهده شده است. بسیاری از کاشیکاری‌های بناهای اسلامی متعلق به ‪۵۰۰‬سال پیش توانسته‌اند الگوهای فراوان ریاضی پیدا کنند که تا دهه ‪۱۹۷۰‬ برای غربی‌ها ناشناخته بوده است. اساس یک طراحی هندسی برای نشان دادن یک نماد از علم " ماندالا" است که به عقیده بسیاری از ملت شرق به تعمق و اندیشه کمک می‌کند خلق بسیاری از نامحدودها با استفاده از مثلث و مستطیل طلایی از این گونه است

کیث کریچلو" ‪keith Critchlow‬نویسنده کتاب "الگوهای ریاضی اسلامی" چنین ادعا می‌کند: ما دریافته‌ایم که اسلام در دوره قرون وسطی تا چه اندازه پیشرفته بوده است. نام این الگوهای ریاضی پیچیده در آن دوران "شیمی بیضی متقارن ممنوعه" می‌نامند. آنها از الگوی کاشی‌های هرمی برخوردارند و با چرخش یک سوم در آن قابل شناسایی هستند. همین قانون برای کاشی‌های مستطیلی نیز پیروی می‌کند که با چرخش یک چهارم قابل شناسایی هستند ما برای کاشی‌های شش گوش چرخش یک ششم لازم است. اما این شبکه‌ها بدون وجود پنج‌ضلعی‌ها کامل نمی‌شوند و بدون رعایت فاصله میان آنها در کنار هم جفت نمی‌شوند و نمی‌توان آنها را با با چرخش یک پنجم در کنار هم قرار داد. آقای لو توانست در دیوار یکی از زیارتگاه‌های ایران دو نوع از این کاشیکاری‌ها بزرگ را که با کاشی‌های هم‌شکل ساخته شده بود، کشف کند به گونه‌ای که ظاهراً از نسبت طلایی فیثاغورثی تبعیت می‌کردند. کریچلو در این‌باره می‌گوید: سازندگان بنا بطور حتم از این نسبت خبر داشتند.

در سال ‪۱۹۷۳‬سر "راجر پنروس" ‪Roger Penrose‬ریاضی‌دان برجسته غربی توانست با در نظر گرفتن این پنج‌ضلعی‌ها الگویی پنج تایی با شکلی بسازد که از آن به عنوان کیت و یا دارت نام برده می‌شود. او نخستین غربی بود که این حساب را کشف کرد و در آن زمان گمان می‌کرد نخستین کسی است به این موضوع پی برده‌است. خلاقیت وی به خلق خواص ریاضیاتی منجر شد هر دسته می‌تواند حاوی تعداد مشخصی‌از کیت‌ها و دارت‌هایی باشد که می‌توانند تا بی‌نهایت و بدون تکرارپذیری الگوهای کوچکتری از کیتها و دارت‌ها بسازند. هر چقدر تعداد این اشکال ریز افزایش پیدا کند آنگاه نسبت کیت‌ها به دارت‌ها به نسبتی موسوم به "نسبت طلایی" می‌رسد.

"گلرو نجیب اوغلو" ‪Gulru Nacipoglu‬یکی از اساتید دانشگاه هاروارد می‌گوید: خلقت انسان مشابه هم است و شکل مشخصی دارد که از عجایب خلقت خداوندی است این که این الگوها به کجا ختم می‌شوند و به صورت هوشمندانه‌ای در درها و پنجره‌ها به کار رفته‌اند مسئله‌ای است که نمی‌توان مشخص کرد. به گفته وی، با وجود این که الگوی پنروس به قرن ‪۱۴‬یا ‪۱۵‬بازمی‌گردد اما این اشکال کاشیکاری در دنیای اسلام از صدها سال قبل از آن به کار گرفته شده است. در منبتکاری‌های ایران در قرن پانزدهم و اوایل شانزدهم فهرستی از بسیاری از این طرح‌ها قرار دارند که ممکن است سرنخی برای شکوه ریاضیات اسلامی در مساجد ایران و ترکیه و مدارس بغداد و زیارتگاه‌های هند و افغانستان باشد. دانشمندان اکنون می‌دانند که مسلمانان در آن دوران می‌توانستند معادلات جبری به توان ‪۳‬و فراتر از آن را حل کنند معادلاتی که بسیار دشوارتر از معادله دو مجهولی است و اساس جبر به شمار می‌رود. مسلمانان همچنین دارای حسابگرهای مکانیکی بودند و در علم داروشناسی و ستاره شناسی پیشرفته‌تر از اروپایی‌ها بوده‌اند اما با این حال جای تاسف است که تعداد اندکی از این دانشمندان درباره یافته‌های خود کتاب و یا اثر به رشته تحریر درآورده‌اند".
ترسیم[ویرایش]

برای رسم کردن مستطیل طلایی ابتدا مربع ABCD با استفاده از ضلع کوچک رسم می‌شود. سپس ضلع AB را نصف کرده، از وسط آن (نقطه G) با پرگار یک قوس به شعاع GC ترسیم کرده و ضلع بزرگ مستطیل (AE) را به دست می‌آورند. با توجه به شکل ترسیم شده، نصف طول این ضلع برابر نسبت طلایی است.[۱]

ادامه مطلب

درباره : مطالب علمی از دنیای علم وهنر , هندسه , مطالب علمی ,

هندسه

هندسه(به انگلیسی: Geometry)‏ ((به یونانی: γεωμετρία)‏؛ ژئو "زمین"، -مترون "اندازه گیری") شاخه ای از ریاضیات است که با شکل، اندازه، موقعیت نسبی اشکال و ویژگیهای فضا سروکار دارد. ریاضیدانی که در شاخهٔ هندسه کار می‌کند هندسه‌دان نامیده می شود. هندسه به طور مستقلی در پاره‌ای از تمدنهای اولیه به شکل بدنه‌ای از دانش عملی در مورد طول، مساحت و حجم ظهور کرد و پایه‌ریزی آن به عنوان یک دانش رسمی ریاضی در زمان تالس (قرن ششم پیش از میلاد) در غرب آغاز شد. در قرن سوم پیش از میلاد هندسه توسط اقلیدس به شکل اصل موضوعی در آمده بود و کار اقلیدس - هندسه اقلیدسی - استانداردی را پایه ریزی نمود که قرنها دنبال شد.[۱] ارشمیدس روشهای هوشمندانه‌ای برای محاسبهٔ مساحت و حجم ارائه داد که در بسیاری موارد پیشرو حساب انتگرال جدید محسوب می شوند. دانش اخترشناسی و به ویژه نگاشتن مکان ستاره‌ها و سیاره‌ها روی کره آسمان و توصیف رابطهٔ بین حرکت اجسام آسمانی تا هزار و پانصد سال بعد منشا بسیاری از پرسشهای هندسی بود. هر دوی هندسه و اخترشناسی در دنیای کلاسیک بخشی از کوادریویم بودند که خود زیرمجموعه‌ای از علوم مقدماتی هفتگانه بود که یادگیری آنها برای هر شهروند آزادی ضروری می‌نمود.

معرفی دستگاه مختصات توسط رنه دکارت و توسعه همزمان در جبر، مرحله تازه ای را در هندسه آغاز کرد؛ زیرا اشکال هندسی همچون منحنی های رویه ای را می شد به شکل تحلیلی یعنی با توابع و معادلات نمایش داد. این موضوع نقش کلیدی در پیدایش حساب بی نهایت کوچک در قرن هفدهم داشت. علاوه براین نظریه ژرفانمایی نیز نشان داد که در هندسه چیزی بیش از ویژگی های متریک اشکال وجود دارد. نظریه ژرفانمایی بنیان هندسه تصویری را بنا نهاد. موضوع هندسه با مطالعه ساختار ذاتی اجسام هندسی و با شروع از کارهای اویلر و گاوس ، غنی تر گردید و به پیدایش توپولوژی و هندسه دیفرانسیل انجامید.

در دوران اقلیدس تمایز آشکاری بین فضای فیزیکی و فضای هندسی وجود نداشت.از قرن نوزدهم و کشف هندسه نااقلیدسی مفهوم فضا دستخوش تغییرات اساسی شده است و پرسشی پدید آمده است: کدام فضای هندسی تطابق بیشتری با فضای فیزیکی دارد؟ امروزه باید بین فضای فیزیکی، فضای هندسی (که در آن هنوز خط و نقطه معانی حسی خود را دارا هستند) و فضاهای انتزاعی تمایز قائل شد. هندسه معاصر امروز با خمینه ها سر و کار دارد؛ فضاهایی که از فضای اقلیدسی آشنا بسیار انتزاعی تر است. می توان به این فضا ها ساختارهایی افزود که بتوانیم در مورد طول در این فضا ها صحبت کنیم.هندسه مدرن پیوند های مستحکمی با فیزیک دارد که به طور نمونه می توان به هندسه شبه ریمانی و نسبیت عام اشاره نمود. یکی از جوانترین نظریه های فیزیکی یعنی نظریه ریسمان نیز حال و هوایی هندسی دارد.

اگرچه ماهیت تصویری هندسه آن را در ابتدا از سایر شاخه های ریاضیات مانند جبر و نظریه اعداد قابل درک تر می نماید، زبان هندسی نیز در زمینه هایی که بسیار با حالت سنتی اقلیدسی آن تفاوت دارد به کار رفته است (مثلا هندسه فراکتالی یا هندسه جبری).[۲]




ادامه مطلب

درباره : مطالب علمی از دنیای علم وهنر , هندسه ,

هندسه جبری

هندسه جبری شاخه‌ای از ریاضیات است که مفاهیم جبر مجرد، به ویژه جبر جابجایی، را با مسائل هندسه می‌آمیزد. این شاخه از ریاضیات مدرن با آنالیز مختلط، توپولوژی و نظریه اعداد در ارتباط تنگاتنگ است. واریته آفین n-بعدی که یکی از بنیادی ترین مفاهیم این شاخه از ریاضی است دقیقا صفرهای مشترک تعدادی دلخواه از چند جمله ای های n-متغیره روی میدان مفروض تعریف می شود. بنابراین حلقه ی چند جمله ای ها نقش عمده ای در هندسه جبری ایفا می کند. تاریخ این علم گسترش فروانی دارد، طوری که قسمتی از مطالعات ارشمیدس مسائلی پیرامون مقاطع مخروطی، تشکیل می داد. همچنین فیزیک دان مسلمان ایرانی قرن ۱۰ میلادی ابن هیثم برای محاسبه ی مسافت ها مجبور به استفاده از معادلات درجه ی سوم می شده است. و نهایت اینکه خیام معادله ی درجه ی سوم را در کلی ترین حالت حل نمود. وی این کار را از طریق مقاطع مخروطی، و قطع دادن دایره با سهمی درجه دوم، انجام داد.

ادامه مطلب

درباره : مطالب علمی از دنیای علم وهنر , هندسه ,

» سخنی از صدق وصفا »» جمعه 08 شهریور 1392
» اگر کسی ادعا کند با دلایل عقلی وجود خدا را رد می کند باید چه جوابی به او داد؟ »» سه شنبه 08 آذر 1401
» گریتینگ »» شنبه 14 اردیبهشت 1398
» کتاب یک چمدان خاطره »» چهارشنبه 28 فروردین 1398
» ۵ ترفند ساده برای تمیز کردن سینک ظرفشویی »» دوشنبه 07 آبان 1397
» ضرورت طراحی سایت حرفه ای »» شنبه 07 مرداد 1396
» مزایا و معایب طراحی سایت پارالاکس »» دوشنبه 26 تیر 1396
» اربعین »» شنبه 29 آبان 1395
» درازگودال ماریانا »» شنبه 29 آبان 1395
» آدانسونیا یا بائوباب »» شنبه 29 آبان 1395
» یون--سدیم »» شنبه 29 آبان 1395
» محمد بن موسی خوارزمی »» شنبه 29 آبان 1395
» دانلود Internet Download Manager 6.26 – نرم افزار دانلود منیجر IDM »» پنجشنبه 06 آبان 1395
» دانلود انیمیشن 6 ابر قهرمان دوبله فارسی با کیفیت عالیbig hero 6 2014 »» پنجشنبه 06 آبان 1395
» دانلود انیمیشن زندگی پنهان حیوانات The Secret Life of Pets 2016 با دوبله فارسی و لینک مستقیم »» پنجشنبه 06 آبان 1395
» دانلود فیلم بارکد با کیفیت اورجینال و لینک مستقیم »» پنجشنبه 06 آبان 1395
» فیلم بادیگارد با کیفیت 1080p و لینک مستقیم-nava1.rzb.ir »» پنجشنبه 06 آبان 1395
» دانلود انیمیشن رودنسیا و دندون شازده خانم با دوبله فارسی و کیفیت Rodencia and the Princess’ Tooth -HD »» پنجشنبه 06 آبان 1395
» 10 تاثیر مضر مواد مخدر بر بدن »» جمعه 22 آبان 1394
» وظایف قوه قضائیه چیست؟ درباره ی قوه ی قضاییه »» جمعه 22 آبان 1394
» درباره ی شرکت پست »» جمعه 22 آبان 1394
» انواع تقویم( -تقویم قمری-تقویم قمری شمسی-تقویم شمسی-تقویم جولیوسی-تقویم گرگوری--تقویم خورشیدی خیام:) »» جمعه 22 آبان 1394
» ویژگی رفتاری زنبور ها-زنبورها »» جمعه 22 آبان 1394
» موضوع تاثیر رسانه بر روی زندگی مردم »» جمعه 22 آبان 1394
» سيّد محمدحسن طباطبائي ميرجهاني(2) »» جمعه 08 آبان 1394
» سيّد محمدحسن طباطبائي ميرجهاني(1) »» جمعه 08 آبان 1394
» امامت ، از اصول مذهب(سوال وجواب) »» جمعه 08 آبان 1394
» ائمه و پيشوايان اسلام »» جمعه 08 آبان 1394
» امامت در باطن اعمال »» جمعه 08 آبان 1394
» فرق ميان نبى و امام »» جمعه 08 آبان 1394
» امامت در بيان معارف الهيّه »» جمعه 08 آبان 1394
» قصه هاى زندگى فاطمه عليها السلام »» دوشنبه 03 فروردین 1394
» داستانهاى ما »» جمعه 29 اسفند 1393
» داستان های زیبا2 »» پنجشنبه 28 اسفند 1393
» داستان های زیبای 2 »» چهارشنبه 27 اسفند 1393
» داستان های زیبا 1 »» چهارشنبه 27 اسفند 1393
» آمینو اسیدها »» سه شنبه 26 اسفند 1393
» موضوع حالات جوانی »» یکشنبه 24 اسفند 1393
» خلاصه حالات آخرين پيامبر و اشرف مخلوقات و فضایل »» جمعه 03 بهمن 1393
» نامه رهبر معظم انقلاب به جوانان اروپا و آمریکای شمالی »» جمعه 03 بهمن 1393